Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F在⊙O上，FD恰好經過圓心O，連接FB．

（1）若∠F=∠D，求∠F的度數；

（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）13.

【解析】試題分析：

（1）由OB=OF可得∠F=∠B，結合∠BOD=∠B+∠F可得∠BOD=2∠F，結合∠F=∠D，可得∠BOD=2∠D，由CD⊥AB可得∠D+∠BOD=90°，由此可得3∠D=90°，∠D=30°；

（2）由AB是⊙O的直徑，CD=24，弦CD⊥AB可得DE=12，設⊙O的半徑為，則OD= ，OE= ，在Rt△ODE中由勾股定理建立方程即可解出.

試題解析：

（1）∵OF=OB，
∴∠B=∠F，
∴∠DOB=∠B+∠F=2∠B，
∵∠DOE+∠D=90°
∴2∠B+∠D=90°，
∵∠B=∠D，
∴2∠D+∠D=90°，
∴∠D=30°；
（2）設⊙O的半徑為r，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=CD=×24=12，
在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-8，OD=r，
∵OE2+DE2=OD2，
∴（r-8）2+122=r2，解得r=13，
∴⊙O的半徑為13．