Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，點E是上一點，連接DE，AE，CE，已知CE＝AC．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明；

（2）若AB＝AC＝4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）（1）CE與⊙O相切，理由見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OE，根據等腰三角形的性質得到∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，求得∠CEO=∠CAO，得到∠CEO=90°，于是得到結論；

（2）連接OC，EB，解直角三角形得到OA=2，BC=4，CE=AC=4，根據勾股定理得到OC2，根據射影定理得到AO2=OFOC，求得OF，得到BE=2OF，根據相似三角形的判定與性質即可得到結論．

（1）CE與⊙O相切，理由：連接OE．

∵OA=OE，AC=EC，∴∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，∴∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE，∴∠CEO=∠CAO．

∵∠BAC=90°，∴∠CEO=90°，∴CE是⊙O的切線；

（2）連接OC，EB．

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴OA=2，BC=4，CE=AC=4，∴OC2．

∵AC=CE，OA=OE，∴AE⊥OC，AF=EF，∴AO2=OFOC，∴OF．

∵OF⊥AE，BE⊥AE，∴OF∥BE．

∵AO=OB，∴BE=2OF．

∵CE是⊙O的切線，∴∠CBE=∠DEC．

∵∠BCE=∠ECD，∴△CDE∽△CEB，∴，∴，∴DE．