Question

【題目】(1)猜想：如圖①，在中，點是對角線的中點，過點的直線分別交、于點、，若的面積是8，則四邊形的面積是________.

(2)探究：如圖②，在菱形中，對角線、交于點，過點的直線分別交、于點、，若，，求四邊形的面積.

(3)應用：如圖③，在中，，延長到點，使，連結，若，，則的面積是_______.

Answer 1

【答案】(1)4；(2)12；(3)1.

【解析】

（1）首先根據平行四邊形的性質可得AD∥BC，OA＝OC．根據平行線的性質可得∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，進而可根據AAS證明△AEO≌△CFO，再根據全等三角形的性質可得結論；

（2）根據菱形的性質得到AD∥BC，AO＝CO，，根據全等三角形的判定定理得到△AOE≌△COF，于是得到結果；

（3）延長AC到E使CE＝AC＝4，根據全等三角形的判定定理得到△ABC≌△CDE，由全等三角形的性質得到∠E＝∠BAC＝90°，根據勾股定理得到DE＝3，即可得到結論．

(1) ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA＝OC．

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，

在△AOE和△COF中，，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴四邊形CDEF的面積＝S△ACD＝ABCD的面積＝4；

故答案為：4；；

(2)∵四邊形是菱形

∴，，，

∴

在和中，

∴.

∴四邊形的面積的面積

由勾股定理可求得

∴

∴四邊形的面積的面積；

(3) 延長AC到E使CE＝AC＝1，

在△ABC與△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE（SAS），

∴∠E＝∠BAC＝90°，

∴DE＝，

∴S△ABD＝S△ADE＝AEDE＝×2×1＝1．

故答案為：1．