Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2，直線l和直線l1、l2交于點C和D，在C、D之間有一點P，A是l1上的一點，B是l2上的一點．

（1）如果P點在C、D之間運動時，如圖（1）問∠PAC，∠APB，∠PBD之間有何關系，并說明理由．

（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），在圖（2），圖（3）中畫出圖形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？并選擇其中一種情況說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）當點P在C、D兩點的外側運動，且在l2下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．當點P在C、D兩點的外側運動，且在l1上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由見解析.

【解析】

（1）當P點在C、D之間運動時，首先過點P作PE∥l1，由l1∥l2，可得PE∥l2∥l1，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）當點P在C、D兩點的外側運動時，由直線l1∥l2，根據兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解：（1）如圖1，當P點在C、D之間運動時，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：過點P作PE∥l1，

∵l1∥l2

∴PE∥l2∥l1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如圖2，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l2下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：∵PE∥l2∥l1，

∴∠EPA=∠PAC，

∵∠EPA=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

如圖3，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l1上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：∵PE∥l2∥l1，

∴∠EPB=∠PBD，

∵∠EPB=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．