Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3交y軸于點C，直線l為拋物線的對稱軸，點P在第三象限且為拋物線的頂點．P到x軸的距離為 ，到y軸的距離為1．點C關于直線l的對稱點為A，連接AC交直線l于B．

（1）求拋物線的表達式；
（2）直線y= x+m與拋物線在第一象限內交于點D，與y軸交于點F，連接BD交y軸于點E，且DE：BE=4：1．求直線y= x+m的表達式；
（3）若N為平面直角坐標系內的點，在直線y= x+m上是否存在點M，使得以點O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵拋物線y=ax2+bx﹣3交y軸于點C

∴C（0，﹣3）則 OC=3；

∵P到x軸的距離為 ，P到y軸的距離是1，且在第三象限，

∴P（﹣1，﹣ ）；

∵C關于直線l的對稱點為A

∴A（﹣2，﹣3）；

將點A（﹣2，﹣3），P（﹣1，﹣ ）代入拋物線y=ax2+bx﹣3中，有：

，解得

∴拋物線的表達式為y= x2+ x﹣3

（2）

解：過點D做DG⊥y 軸于G，則∠DGE=∠BCE=90°

∵∠DEG=∠BEC

∴△DEG∽△BEC

∵DE：BE=4：1，

∴DG：BC=4：1；

已知BC=1，則DG=4，點D的橫坐標為4；

將x=4代入y= x2+ x﹣3中，得y=5，則 D（4，5）．

∵直線y= x+m過點D（4，5）

∴5= ×4+m，則 m=2；

∴所求直線的表達式y= x+2

（3）

解：由（2）的直線解析式知：F（0，2），OF=2；

設點M（x， x+2），則：OM2= x2+3x+4、FM2= x2；

（Ⅰ）當OF為菱形的對角線時，點M在線段OF的中垂線上，則點M的縱坐標為1；

∴ x+2=1，x=﹣ ；即點M的坐標（﹣ ，1）．

（Ⅱ）當OF為菱形的邊時，有：

①FM=OF=2，則： x2=4，x1= 、x2=﹣

代入y= x+2中，得：y1= 、y2= ；

即點M的坐標（ ， ）或（﹣ ， ）；

②OM=OF=2，則： x2+3x+4=4，x1=0（舍）、x2=﹣

代入y= x+2中，得：y= ；

即點M的坐標（﹣ ， ）；

綜上，存在符合條件的點M，且坐標為（﹣ ，1）、（ ， ）、（﹣ ， ）、（﹣ ， ）

【解析】（1）已知點P到坐標軸的距離以及點P所在的象限，先確定點P的坐標；而點A、C關于拋物線對稱軸對稱，先求出點A的坐標，再由點A、P、C以及待定系數法確定二次函數的解析式．（2）過點D作y軸的垂線，通過構建的相似三角形先求出點D的橫坐標，代入拋物線的解析式中能確定點D的坐標；再由待定系數法求直線DF的解析式．（3）由（2）的結論可先求出點F的坐標，先設出點M的坐標，則OF、OM、FM的表達式可求，若以O、F、M、N為頂點的四邊形為菱形，那么可分兩種情況：
①以OF為對角線，那么點M必為線段OF的中垂線與直線DF的交點，此時點M的縱坐標為點F縱坐標的一半，代入直線DF的解析式后可得點M的坐標；
②以OF為邊，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出點M的坐標．