Question

如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC平分∠BCD，BD交AC于點F，過點A作圓的切線AE交CB的延長線于E．求證：①AE∥BD；  ②AD²=DF•AE．

Answer 1

分析：①由AE為圓的切線，利用弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠EAB=∠ACE，再由CA為角平分線得到一對角相等，利用同弧所對的圓周角相等及等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得證；
②利用弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，由AE與BD平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠AEC=∠DBC，利用同弧所對的圓周角相等得到∠DBC=∠DAC，等量代換得到一對角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ABE與三角形ADF相似，由相似得比例，再由CA為角平分線，利用相等的圓周角所對的弧相等，再利用等弧對等弦得到AD=AB，等量代換即可得證．

解答：證明：①∵AE為圓的切線，
∴∠EAB=∠ACE（弦切角等于夾弧所對的圓周角），
∵CA為∠BCD的平分線，
∴∠ACE=∠ACD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠EAB=∠ABD，
∴AE∥BD；
②∵AE∥BD，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠AEC=∠DAC，
∵∠EAB=∠ADB（弦切角等于夾弧所對的圓周角），
∴△ABE∽△DFA，
∴

AB

DF

=

AE

DA

，
∵∠ACE=∠ACD，
∴

AD

=

AB

，
∴AD=AB，
則AD•AB=AD²=AE•DF．

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，弦、弧及圓心角之間的關系，平行線的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．