Question

【題目】如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點，OC平分∠AOB交AB于點C，點D為線段AB上一點，過點D作DE∥OC交y軸于點E，已知AO=m，BO=n，且m、n滿足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）若點D為AB中點，延長DE交x軸于點F，在ED的延長線上取點G，使DG=DF，連接BG．

①BG與y軸的位置關系怎樣？說明理由； ②求OF的長；

（3）如圖2，若點F的坐標為（10，10），E是y軸的正半軸上一動點，P是直線AB上一點，且P的橫坐標為6，是否存在點E使△EFP為等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0），B（0，6）；（2）①BG與y軸垂直，理由見解析，②OF=1.5（3）存在點E（0，4），使△EFP為等腰直角三角形

【解析】

（1）先求出m，n的值，即可得出結論；
（2）①先判斷出△BDG≌△ADF，得出BG=AF，∠G=∠DFA，最后根據平行線的性質得出∠DFA=45°，∠G=45°，即可得出結論；
②利用等腰三角形的性質，建立方程即可得出結論；
（3）先求出點P坐標，進而得出Rt△FME≌Rt△ENP，進而得出求出OE，即可得出結論．

（1）由n2-12n+36+|n-2m|=0．得：（n-6）2+|n-2m|=0，
∴n=6，m=3，
∴A（3，0），B（0，6）．
（2）①BG⊥y軸．

在△BDG與△ADF中，

∴△BDG≌△ADF
∴BG=AF，∠G=∠DFA
∵OC平分∠ABC，
∴∠COA=45°，
∵DE∥OC，
∴∠DFA=45°，∠G=45°．
∵∠FOE=90°，
∴∠FEO═45°
∵∠BEG=45°，
∴∠EBG=90°，
即BG與y軸垂直．

②從①可知，BG=FA，△BDE為等腰直角三角形．
∴BG=BE．
設OF=x，則有OE=x，3+x=6-x，解得x=1.5，
即：OF=1.5．
（3）∵A（3，0），B（0，6）．
∵直線AB的解析式為：y=-2x+6，
∵P點的橫坐標為6，
故P（6，-6）
要使△EFP為等腰直角三角形，必有EF=EP，且∠FEP═90°，
如圖2，過F、P分別向y軸作垂線垂足分別為M、N．

∵∠FEP═90°
∴∠FEM+∠PEN=90°，又∠FEM+∠MFE=90°
∴∠PEN=∠MFE
∴Rt△FME≌Rt△ENP
∴ME=NP=6，
∴OE=10-6=4．
即存在點E（0，4），使△EFP為等腰直角三角形