Question

【題目】如圖，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動點 P 從點 C開始，按 C→A→B→C 的路徑運動，且速度為每秒 1cm，設出發的時間為 t 秒．

（1）出發 2 秒后，求△ABP 的周長．

（2）當 t 為幾秒時，BP 平分∠ABC？

（3）另有一點 Q，從點 C 開始，按 C→B→A→C 的路徑運動，且速度為每秒 2cm，若 P、Q 兩點同時出發，當 P、Q 中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當 t 為何值時，直 線 PQ 把△ABC 的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）（16+2）cm；（2）3；（3）4或12

【解析】

（1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2cm，所以求出了三角形的周長．

（2）過點P作PD⊥AB于點D，證明Rt△PBC≌Rt△PBD，得出AD的值，再設PC=xcm，則PA=（8-x）cm，利用勾股定理求解即可；

（3）利用分類討論的思想和周長的定義求出了答案．

解：（1）如圖1，

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴由勾股定理得AC=8cm，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm

∴出發2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cm．

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；

（2）如圖2所示，過點P作PD⊥AB于點D，

∵BP平分∠ABC，

∴PD=PC．

在Rt△PBC與Rt△PBD中，

，

∴Rt△PBC≌Rt△PBD（HL），

∴BD=CB=6cm，

∴AD=10-6=4cm．

設PC=xcm，則AP=（8-x）cm

在Rt△BPD中，，

即，

解得：x=3

∴當t=3秒時，BP平分∠ABC；

（3）分兩種情況：①當P、Q沒相遇前，P點走過的路程為tcm，Q走過的路程為2tcm，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分

∴t+2t=12

∴t=4s；
②當P、Q相遇后，當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，

∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分

∴t-8+2t-16=12

∴t=12s

故當t為4秒或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．