Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，若點D的對應點D′，連接D′B，以下結論中：①D′B的最小值為3；②當DE＝時，△ABD′是等腰三角形；③當DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正確的有_____．（填上你認為正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

當D′落在線段AB上時，D′B的值最小，此時D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正確；

過D′作MN⊥AB交AB于點N，交CD于點M，設AN＝x，則EM＝x﹣2.5，證出∠ED′M＝∠D′AN，因此△EMD′∽△D′NA，得出對應邊成比例，求出x＝4，得出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正確；

當DE＝2時，假設△ABD′是直角三角形，則E、D′、B在一條直線上，作EF⊥AB于點F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正確；

當AD′＝D′B時，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，當△ABD′是直角三角形時，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正確．

當D′落在線段AB上時，D′B的值最小，如圖1所示：

此時D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，

∴①正確；

過D′作MN⊥AB交AB于點N，交CD于點M，如圖2所示：

設AN＝x，則EM＝x﹣2.5，

∵∠AD′N＝∠DAD′，∠ED′M＝180°﹣∠AD′E﹣∠AD′N＝180°﹣90°﹣∠AD′N＝90°﹣∠AD′N，

∴∠ED′M＝90°﹣∠DAD′，

∵∠D′AN＝90°﹣∠DAD′，

∴∠ED′M＝∠D′AN，

∵MN⊥AB，

∴∠EMD′＝∠AND′，

∴△EMD′∽△D′NA，

∴，

即，

解得：x＝4，

∴AN＝BN，

∴AD′＝D′B，

即△ABD′是等腰三角形，

∴②正確；

當DE＝2時，假設△ABD′是直角三角形，

則E、D′、B在一條直線上，

作EF⊥AB于點F，如圖3所示：

D′B＝=,EB=，

∵≠

∴③不正確；

當AD′＝D′B時，52+52≠82，

∴△ABD′不是直角三角形，

當△ABD′是直角三角形時，D′B＝=，

∴AD′≠D′B，

∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，

∴④正確；

故答案為：①②④．