Question

【題目】（1）嘗試探究

如圖①，在中，，，點、分別是邊、上的點，且.

①的值為多少；②直線與直線的位置關系；

（2）類比延伸

如圖②，若將圖①中的繞點順時針旋轉，連接，，則在旋轉的過程中，請判斷的值及直線 與直線的位置關系，并說明理由；

（3）拓展運用

若，，在旋轉過程中，當，，三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長.

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）；，理由見解析；（3）或

【解析】

（1）①利用三角函數可求出CF=EC，AC=BC，再通過線段的差進行轉化可得出AF=BE，即可得出答案；②根據，即可得出直線與直線的位置關系；

（2）先利用三角函數求出CF與EC，AC與BC的關系，再證出∽，利用相似的性質即可得出答案；

（3）根據題意可畫出兩種滿足題意的圖形，再利用（2）中的結論即可求出答案.

解：（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，EF//AB,

∴∠CFE=∠A=30°，

∴CF=EC，AC=BC，

∴AF=AC-CF=BC- EC=(BC-EC)= BE，

∴=，

②∵，

∴AF⊥BE；

（2）；

理由如下：由（1）及旋轉的性質知，，，

在中，，

在中，；

，

又，

，，

∽，

.

如圖，延長交于點，交于點，

∽，

，

，，

，

即；

（3）或