Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=1，CD=2，BC=m，點P是邊BC上一動點，若△PAB與△PCD相似，且滿足條件的點P恰有2個，則m的值為_______．

Answer 1

【答案】3或2．

【解析】

由平行線得出∠C=90°，當∠BAP=∠CDP時，△PAB∽△PDC，得出 ，得出PC=2PB①，當∠BAP=∠CPD時，△PAB∽△DPC，得出，即PB×PC=1×2=2②，由①②得：PB=1，得出PC=2，BC=3；
設BP=x，則=m-x，得出x：2=1：（m-x），整理得：x2-mx+2=0，方程有唯一解時，△=m2-8=0，解得：m=±2（負值舍去），得出m=2；即可得出結論．

∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C+∠B=180°，
∴∠C=90°，
當∠BAP=∠CDP時，△PAB∽△PDC，
∴，即，
∴PC=2PB①，
當∠BAP=∠CPD時，△PAB∽△DPC，
∴，即PB×PC=1×2=2②，
由①②得：2PB2=2，
解得：PB=1，
∴PC=2，
∴BC=3；
設BP=x，則=m-x，
∴x：2=1：（m-x），
整理得：x2-mx+2=0，
方程有唯一解時，△=m2-8=0，
解得：m=±2負值舍去），
∴m=2；
綜上所述，若△PAB與△PCD相似，且滿足條件的點P恰有2個，則m的值為3或2；
故答案為：3或2．