Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D兩點．拋物線的頂點為C，連結AC．

（1）求A，D兩點的坐標；

（2）點P為該拋物線上一動點（與點A、D不重合），連接PA、PD．

①當點P的橫坐標為2時，求△PAD的面積；

②當∠PDA＝∠CAD時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），D（4，3）；（2）①當點P的橫坐標為2時，求△PAD的面積；②當∠PDA＝∠CAD時，直接寫出點P的坐標．

【解析】

（1）由于A、D是直線直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+6x﹣5的交點，要求兩個交點的坐標，需可聯立方程組求解；

（2）①要求△PAD的面積，可以過P作PE⊥x軸，與AD相交于點E，求得PE，再用△PAE和△PDE的面積和求得結果；

②分兩種情況解答：過D點作DP∥AC，與拋物線交于點P，求出AC的解析式，進而得PD的解析式，再解PD的解析式與拋物線的解析式聯立方程組，便可求得P點坐標；當P點在AD上方時，延長DP與y軸交于F點，過F點作FG∥AC與AD交于點G，則∠CAD＝∠FGD＝∠PDA，則FG＝FD，設F點坐標為（0，m），求出G點的坐標（用m表示），再由FG＝FD，列出m的方程，便可求得F點坐標，從而求出DF的解析式，最后解DF的解析式與拋物線的解析式聯立的方程組，便可求得P點坐標．

（1）聯立方程組，

解得，，，

∴A（1，0），D（4，3），

（2）①過P作PE⊥x軸，與AD相交于點E，

∵點P的橫坐標為2，

∴P（2，3），E（2，1），

∴PE＝3﹣1＝2，

∴＝3；

②過點D作DP∥AC，與拋物線交于點P，則∠PDA＝∠CAD，

∵y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4，

∴C（3，4），

設AC的解析式為：y=kx+b（k≠0），

∵A（1，0），

∴，

∴，

∴AC的解析式為：y=2x-2，

設DP的解析式為：y=2x+n，

把D（4，3）代入，得3=8+n，

∴n=-5，

∴DP的解析式為：y=2x-5，

聯立方程組，

解得，，，

∴此時P（0，-5），

當P點在直線AD上方時，延長DP，與y軸交于點F，過F作FG∥AC，FG與AD交于點G，

則∠FGD=∠CAD=∠PDA，

∴FG=FD，

設F（0，m），

∵AC的解析式為：y=2x-2，

∴FG的解析式為：y=2x+m，

聯立方程組，

解得，，

∴G（-m-1，-m-2），

∴FG=，FD=，

∵FG=FD，

∴=，

∴m=-5或1，

∵F在AD上方，

∴m＞-1，

∴m=1，

∴F（0，1），

設DF的解析式為：y=qx+1（q≠0），

把D（4，3）代入，得4q+1=3，

∴q=，

∴DF的解析式為：y=x+1，

聯立方程組

∴，，

∴此時P點的坐標為(，)，

綜上，P點的坐標為（0，-5）或(，)．