Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E為邊AB上一動點，連結CE并將其繞點C順時針旋轉90°得到CF，連結DF，以CE、CF為鄰邊作矩形CFGE，GE與AD、AC分別交于點H、M，GF交CD延長線于點N．

（1）證明：點A、D、F在同一條直線上；

（2）隨著點E的移動，線段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由；

（3）連結EF、MN，當MN∥EF時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）有最小值，DH的最小值為；（3）AE= 2．

【解析】

（1）要證明點A、D、F在同一條直線上，只需證明∠CDF+∠CDA=180°即可.根據題中的已知條件很容易證明△DCF≌△BCE，則∠CDF=∠B=90°，結論可證.

（2）設AE=x，DH=y，通過已知條件證明△ECB∽△HEA，利用相似三角形的性質可知，即可得到一個y與x的二次函數，根據二次函數的最值可求出線段DH的最小值.

（3）利用矩形的性質及平行線的性質可證明△CFN≌△CEM，進而推出∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°. 在BC上取一點K，使得KC=KE，則△BKE是等腰直角三角形，設BE=BK=a，則KC=KE=a，利用求出a的值，從而利用即可求AE的長.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠DCB，

∴∠DCF=∠BCE，

∴△DCF≌△BCE，

∴∠CDF=∠B=90°，

∴∠CDF+∠CDA=180°，

∴點A、D、F在同一條直線上．

（2）解：有最小值．

理由：設AE=x，DH=y，則AH=1-y，BE=1-x，

∵四邊形CFGE是矩形，

∴∠CEG=90°，

∴∠CEB+∠AEH=90°

CEB+∠ECB=90°，

∴∠ECB=∠AEH，

∵∠B=∠EAH=90°，

∴△ECB∽△HEA，

即

∵a=1＞0，

∴當時，y有最小值，最小值為，

∴DH的最小值為．

（3）解：∵四邊形CFGE是矩形，CF=CE，

∴四邊形CFGE是正方形，

∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，

∵NM∥EF，

∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，

∴∠GMN=∠GNM，

∴GN=GM，

∴FN=EM，

∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，

∴△CFN≌△CEM，

∴∠FCN=∠ECM，

∵∠MCN=45°，

∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，

在BC上取一點K，使得KC=KE

∴△BKE是等腰直角三角形

設BE=BK=a，則KC=KE=a，