Question

【題目】閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE．
小明經探究發現，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE（如圖2），使問題得到解決．

（1）根據閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個）
參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
（2）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長；
（3）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=kDB（其中0＜k＜ ），∠AED=∠BCD，求 的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

：如圖2，

作AF⊥BC，

∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，

在△ABF和△BAE中，

，

∴△ABF≌△BAE（AAS），

∴BF=AE

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF= BC，

∴BC=2AE，

故答案為AAS

（2）

解：如圖3，

連接AD，作CG⊥AF，

在Rt△ABC中，AB=AC，點D是BC中點，

∴AD=CD，

∵點E是DC中點，

∴DE= CD= AD，

∴tan∠DAE= = ，

∵AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC中點，

∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，

∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，

∵∠CDF=∠EAC，

∴∠F+∠EAC=45°，

∵∠DAE+∠EAC=45°，

∴∠F=∠DAE，

∴tan∠F=tan∠DAE= ，

∴ ，

∴CG= ×2=1，

∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，

∴∠DCG=45°，

∵∠CDF=∠EAC，

∴△DCG∽△ACE，

∴ ，

∵CD= AC，CE= CD= AC，

∴ ，

∴AC=4；

∴AB=4；

（3）

解：如圖4，

過點D作DG⊥BC，設DG=a，

在Rt△BGD中，∠B=30°，

∴BD=2a，BG= a，

∵AD=kDB，

∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），

過點A作AH⊥BC，

在Rt△ABH中，∠B=30°．

∴BH= a（k+1），

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BC=2BH=2 a（k+1），

∴CG=BC﹣BG= a（2k+1），

過D作DN⊥AC交CA延長線與N，

∵∠BAC=120°，

∴∠DAN=60°，

∴∠ADN=30°，

∴AN=ka，DN= ka，

∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，

∴△NDE∽△GDC．

∴ ，

∴ ，

∴NE=3ak（2k+1），

∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），

∴ ．

【解析】（1）作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；（2）先求出tan∠DAE= ，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；（3）構造含30°角的直角三角形，設出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分別用a，k表示出AB=2a（k+1），BH= a（k+1），BC=2BH=2 a（k+1），CG= a（2k+1），DN= ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，中點的定義，解本題的關鍵是作出輔助線，也是本題的難點．