Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結論：

①CD=CP=CQ；②∠PCQ為定值；③△PCQ面積的最小值為；④當點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，其中正確結論的個數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】①由折疊直接得到結論；②由折疊的性質求出∠ACP +∠BCQ=120°，再用周角的定義求出∠PCQ=120°；③先作出△PCQ的邊PC上的高，用三角函數求出QE=CQ，得到S△PCQ =CD2，判斷出△PCQ面積最小時，點D的位置，再求△PCQ面積的最小值即可；④先判斷出△APD 是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可得結論.

① ∵將△ CAD 與△ CBD 分別沿直線 CA、CB 翻折得到△CAP與△CBQ ，

∴CP=CD=CQ，

∴ ①正確；

② ∵將△ CAD與△CBD 分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP 與△CBQ ，

∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD ，

∴∠ACP +∠BCQ=∠ACD +∠BCD=∠ACB=120°，

∴∠ PCQ=360°﹣(∠ACP +BCQ +∠ACB ) =360°﹣(120°+120°) =120°，

∴∠ PCQ 的大小不變；

∴ ② 正確；

③ 如圖，過點Q作QE ⊥ PC 交PC延長線于 E ，

∵∠PCQ=120°，

∴∠QCE=60°，

在 Rt△QCE 中， sin∠QCE=，

∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°=CQ ，

∵CP=CD=CQ，

∴ S△PCQ =×CP×QE=CP×CQ=CD 2，

∴ CD 最短時，S △ PCQ最小，

即:CD ⊥ AB 時，CD最短，

過點 C 作 CF ⊥ AB，此時 CF 就是最短的 CD ，

∵ AC=BC=6，∠ ACB=120°,

∴∠ ABC=30°，

∴CF=BC=3，

即:CD最短為3，

∴ S △ PCQ最小 =，

∴ ③錯誤；

④ ∵將△CAD與△CBD 分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ ，

∴ AD=AP，∠ DAC=∠ PAC，

∵∠ DAC=30°，

∴∠ APD=60°，

∴△ APD是等邊三角形，

∴ PD=AD，∠ ADP=60°，

同理：△ BDQ是等邊三角形，

∴ DQ=BD，∠ BDQ=60°，

∴∠ PDQ=60°，

∵當點D在AB的中點，

∴AD=BD，

∴PD=DQ，

∴△DPQ 是等邊三角形.

∴ ④正確.

正確的答案為：①②④ .

故選C.