Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0）、（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數解析式．

（2）點E為拋物線的頂點，點C為拋物線與x軸的另一交點，點D為y軸上一點，且DC=DE，求出點D的坐標．

（3）在第二問的條件下，射線DE上是否存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）（0，﹣1）；（3）滿足條件的點P共有2個，其坐標分別為（，﹣2）、（3，﹣10）．

【解析】

試題（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點C的坐標，設點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F，利用勾股定理列式表示出DC2與DE2，然后解方程求出m的值，即可得到點D的坐標；
（3）根據點C、D、E的坐標判定△COD和△DFE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的長度，然后①分OC與CD是對應邊；②OC與DP是對應邊；根據相似三角形對應邊成比例列式求出DP的長度，過點P作PG⊥y軸于點G，分別求出DG、PG的長度，結合平面直角坐標系即可寫出點P的坐標．

試題解析：

（1）∵拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（0，﹣3），

∴ ，

解得，

故拋物線的函數解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

則點C的坐標為（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴點E坐標為（1，﹣4），

設點D的坐標為（0，m），

∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，

∵DC=DE，

∴m2+9=m2+8m+16+1，

解得m=﹣1，

∴點D的坐標為（0，﹣1）；

（3）作EF⊥y軸于F．

∵點C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），

∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根據勾股定理，CD=，

在△COD和△DFE中，

∵ ，

∴△COD≌△DFE（SAS），

∴∠EDF=∠DCO，

又∵∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°﹣90°=90°，

∴CD⊥DE，

①分OC與CD是對應邊時，

∵△DOC∽△PDC，

∴ ，

即，

解得DP=，

過點P作PG⊥y軸于點G，

則 ，

即 ，

解得DG=1，PG=，

OG=DO+DG=1+1=2，

所以，點P（，﹣2）；

②OC與DP是對應邊時，

∵△DOC∽△CDP，

∴ ，

即 ，

解得DP=3，

過點P作PG⊥y軸于點G，

則，

即 ，

解得DG=9，PG=3，

OG=OD+DG=1+9=10，

所以，點P的坐標是（3，﹣10），

綜上所述，滿足條件的點P共有2個，其坐標分別為（，﹣2）、（3，﹣10）．