Question

【題目】已知拋物線與軸交于Ａ、Ｂ兩點（Ａ在Ｂ的左側(cè)），且Ａ、Ｂ兩點的橫坐標是方程－１２＝０的兩個根．拋物線與軸的正半軸交于點Ｃ，且ＯＣ＝ＡＢ．

（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三點的坐標；

（２）求此拋物線的解析式；

（３）連接ＡＣ、ＢＣ，若點Ｅ是線段ＡＢ上的一個動點（與點Ａ、點Ｂ不重合），過點Ｅ作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于點Ｆ，連接ＣＥ，設(shè)ＡＥ的長為，△ＣＥＦ的面積為Ｓ，求Ｓ與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（４）對于（３），試說明Ｓ是否存在最大值或最小值，若存在，請求出此值，并求出此時點Ｅ的坐標，判斷此時△ＢＣＥ的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（１）Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）、Ｃ（０，８）；

（２）拋物線的解析式為＝－＋８；

（３）Ｓ＝－　（０＜＜８）；

（４）存在最大值； △ＢＣＥ為等腰三角形．

【解析】【試題分析】（1）解方程－１２＝０得到＝－６， ＝２，得Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０），根據(jù)ＯＣ＝ＡＢ，得Ｃ（０，８），即Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）、Ｃ（０，８）；

（2）將（1）中的三個坐標代入即可，即得解得，則所求拋物線的解析式為＝－＋８；

（3）依題意，ＡＥ＝，則ＢＥ＝８－．ＥＦ∥ＡＣ，得△ＢＥＦ∽△ＢＡＣ，

設(shè)ＢＥ邊上的高為，由相似三角形的性質(zhì)“對應(yīng)高的比等于相似比”， 得：ＢＥ邊上的高︰ＢＡ邊上的高＝ＢＥ︰ＢＡ， 即︰ＯＣ＝ＢＥ︰ＢＡ，

∴︰８＝（８－）︰８，∴＝８－．如圖，Ｓ＝Ｓ△ＣＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＣＥ－Ｓ△ＢＥＦ　

＝×８×８－×８－ ＝－　（０＜＜８）；

（４）存在最大值．利用配方法求二次函數(shù)的極值，即Ｓ＝－＝－＝－＋８，得當＝４時，Ｓ有最大值８， 即ＡＥ＝４，

∴點Ｅ的坐標為Ｅ（－２，０），∵Ｂ（２，０），∴ＯＣ⊥ＥＢ且平行ＥＢ，

即ＣＥ＝ＣＢ，△ＢＣＥ為等腰三角形．

【試題解析】

（１）由方程－１２＝０

得（＋６）（－２）＝０，

∴＝－６， ＝２，

由題意得Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）．ＡＢ＝６－（－２）＝８，

∵ＯＣ＝ＡＢ且Ｃ點在軸的正半軸上，

∴Ｃ（０，８）．∴Ａ、Ｂ、Ｃ三點的坐標分別為：

Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）、Ｃ（０，８）；

（２）∵點Ｃ（０，８）在拋物線上，

當＝０時， ＝８，∴＝８．

將Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）代入，

得，

解得，∴所求拋物線的解析式為＝－＋８；

（３）依題意，ＡＥ＝，則ＢＥ＝８－．

∵ＥＦ∥ＡＣ，∴△ＢＥＦ∽△ＢＡＣ，

設(shè)ＢＥ邊上的高為，

即︰ＯＣ＝ＢＥ︰ＢＡ，

∴︰８＝（８－）︰８，

∴＝８－．如圖，

Ｓ＝Ｓ△ＣＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＣＥ－Ｓ△ＢＥＦ　

＝×８×８－×８－ ，

化簡整理得Ｓ＝－　（０＜＜８）；

（４）存在最大值．∵Ｓ＝－

＝－＝－＋８，

∵－＜０，∴當＝４時，Ｓ有最大值８，

Ｓ最大值＝８． ＝４，即ＡＥ＝４，

∴點Ｅ的坐標為Ｅ（－２，０），

∵Ｂ（２，０），∴ＯＣ⊥ＥＢ且平行ＥＢ，

即ＣＥ＝ＣＢ，

∴△ＢＣＥ為等腰三角形．