Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點P是射線AM上一動點(與A不重合)，BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C、D.

(1)求∠CBD的度數；

(2)當點P運動時，∠APB∶∠ADB的度數比值是否發生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規律；

(3)當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不變，∠APB∶∠ADB＝2∶1.，理由見解析；（3）∠ABC＝30°

【解析】（1）由平行線的性質可求得∠ABN，再根據角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；

（2）由平行線的性質可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結論；

（3）由平行線的性質可得到∠ACB=∠CBN，結合條件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度數．

解：(1)∵AM∥BN，∠A＝60°，

∴∠ABN＝180°－60°＝120°，

∴∠ABP＋∠PBN＝120°.

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，

∴2∠CBP＋2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP＋∠DBP＝60°.

(2)不變，∠APB∶∠ADB＝2∶1.理由如下，

∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APB∶∠ADB＝2∶1.

(3)∵AM∥BN，

∴∠ACB＝∠CBN，

當∠ACB＝∠ABD時，

則有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN.

由(1)可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，

∴∠ABC＋∠DBN＝60°，

∴∠ABC＝30°.