Question

【題目】一直角三角板的直角頂點在直線上，作射線三角板的各邊和射線都處于直線的上方．

（1）將三角板繞點在平面內旋轉，當平分時，如圖1，如果，求的度數；

（2）如圖2，將三角板繞點在平面內任意轉動，如果始終在內，且，請問： 和有怎樣的數量關系?

（3）如圖2，如果平分，是否也平分?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠BOC－∠AOM＝；（3）OB平分∠CON．理由見解析

【解析】

（1）根據角平分線的意義可得∠COM=∠BOC=65°，再根據互余可求出∠AOC的度數；

（2）當OA始終在∠COM的內部時，有∠AOM+∠AOC=65°，∠AOC+∠BOC=90°，進而得出∠AOM與∠BOC的等量關系；

（3）根據余角的性質得出∠AOM+∠BOC=90°，再證明∠AOM+∠BON=90°，即可得出結論.

解：（1）∵平分，

∴∠COM=∠BOC=65°，

又∵∠AOC+∠BOC=90°，

∴∠AOC=90°-65°=25°；

（2）∵OA始終在∠COM的內部，

∠COM=∠AOM+∠AOC=65°，

∴∠AOC=65°-∠AOM，

又∵∠AOC+∠BOC=90°，

∴65°-∠AOM+∠BOC=90°，

∴∠BOC－∠AOM＝；

（3）∵平分，

∴∠AOM=∠AOC，

又∵∠AOC+∠BOC=90°，

∴∠AOM+∠BOC=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOM+∠BON=90°，

∴∠BOC=∠BON，

∴平分.