Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點M，交BE于點G，AD平分∠MAC，交BC于點D，交BE于點F．

（1）判斷直線BE與線段AD之間的關系，并說明理由；

（2）若∠C=30°，圖中是否存在等邊三角形？若存在，請寫出來并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE垂直平分AD，理由見解析；（2）存在，△ABD、△GAE是等邊三角形．

【解析】

（1）根據余角的性質即可得到∠5=∠C；由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根據三角形的外角的性質得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到結論．

（2）根據∠5=∠C=30°，AM⊥BC，可得∠ABD=60°，∠CAM=60°，進而得到∠ADB=∠4+∠C=60°，∠BAD=60°，依據∠ABD=∠BDA=∠BAD，可得△ABD是等邊三角形；根據∠AEG=∠AGE=∠GAE，即可得到△AEG是等邊三角形．

解：（1）BE垂直平分AD，理由：

∵AM⊥BC，

∴∠ABC+∠5=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠C=90°，

∴∠5=∠C；

∵AD平分∠MAC，

∴∠3=∠4，

∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，

∴∠BAD=∠ADB，

∴△BAD是等腰三角形，

又∵∠1=∠2，

∴BE垂直平分AD；

（2）△ABD、△GAE是等邊三角形．理由：

∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，

∴∠ABD=60°，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAM=60°，

∵AD平分∠CAM，

∴∠4=∠CAM=30°，

∴∠ADB=∠4+∠C=60°，

∴∠BAD=60°，

∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，

∴△ABD是等邊三角形；

∵在Rt△BGM中，∠BGM=60°=∠AGE，

在Rt△ACM中，∠CAM=60°，

∴∠AEG=∠AGE=∠GAE，

∴△AEG是等邊三角形．