Question

【題目】已知：在四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，點P在BC邊上，連接AP和PD，點E在DC邊上，連接BE與DP和AP分別交于點F和點G，若AB=PC，BP=DC，∠DFE=45°.

（1）如圖1，求證：四邊形ABED為平行四邊形；

（2）如圖2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（點P與點Q為對應點），點Q在AD上，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（不包括平行四邊形ABED，但包括特殊的平行四邊形）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AGFQ是平行四邊形，四邊形QGFD是平行四邊形.

【解析】

（1）證明△ABP≌△PCD，可以得出△PAD為等腰直角三角形，得出∠ADP=45°，可得AD∥BE，再證出AB∥DE即可解決問題；

（2）根據平行四邊形的判定方法即可判斷．

解：（1）∵∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∴AB∥CD，

∵AB=PC，BP=DC，

∴△ABP≌△PCD，

∴PA=PD，

∠APD=∠PDC，

∵∠PDC+∠DPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠APD=90°，

∴△APD是等腰直角三角形，

∴∠ADP=45°，

∵∠DFE=45°，

∴∠ADP=∠DFE，

∴AD∥BE，

∴四邊形ABED是平行四邊形．

（2）∵∠PGF=∠PAD=45°，∠PFG=∠ADP=45°，

∴△PFG，△FGQ都是等腰直角三角形，

∴四邊形PFQG是正方形，

∵∠AGF=135°，∠QFG=∠PFG=45°，

∴∠AGF+∠QFG=180°，

∴AG∥QF，

∵AQ∥FG，

∴四邊形AGFQ是平行四邊形，

同法可證，四邊形QGFD是平行四邊形，