Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，P為BA延長線上一點，過P作⊙O的切線，切點為C，CD平分∠ACB交⊙O于D，交AB于G．

（1）求證：△PAC∽△PCB；

（2）已知⊙O的半徑為5，PC＝2，過C作CH⊥AB于H．

①求tan∠ADC；

②求GH的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②GH＝2﹣．

【解析】

（1）如圖，連接OC，先證∠B＝∠ACP，又因為∠CPA＝∠BPC，即可得出結論；

（2）①由（1）知△PAC∽△PCB，利用相似三角形的性質可求出AP的長，可求出∠B的正切值，即可寫出∠ADC的正切值；

②如圖，連接OD，證OD∥CH，所以△DOG∽△CHG，在Rt△ABC中，設AC＝x，則BC＝x，由勾股定理可求出x的值，即得AC，BC的長，由面積法求出CH的長，由銳角三角函數求出BH的長，進一步求出OH的長，利用相似三角形的性質即可求出GH的長．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCP＝90°，

∴∠OCA+∠ACP＝90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠CAO＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠B＝∠ACP，

又∵∠CPA＝∠BPC，

∴△PAC∽△PCB；

（2）①由（1）知△PAC∽△PCB，

∴＝＝，

∵PC＝2，AB＝5×2＝10，

∴＝，

∴AP＝2（取正值），

∴＝＝，

∵∠ADC＝∠B，

∴tan∠ADC＝tan∠B＝＝；

②如圖，連接OD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACD＝ACB＝45°，

∴∠BOD＝∠DOA＝90°，

∵CH⊥AB，

∴∠CHG＝90°＝∠DOA，

∴OD∥CH，

∴△DOG∽△CHG，

在Rt△ABC中，設AC＝x，則BC＝x，

∴x2+（x）2＝102，

∴x＝（取正值），

∴AC＝，BC＝，

∵S△ABC＝BCAC＝ABCH，

∴×＝10CH，

∴CH＝，

∵tan∠B＝，

∴＝＝，

∴BH＝，

∴OH＝BH﹣BO＝﹣5＝，

∵△DOG∽△CHG，

∴＝，

即＝，

∴GH＝2﹣．