Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、（左右），與軸交于點，且．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點在第一象限拋物線上，連接，若，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，如圖3，過點作軸，線段經過點，與拋物線交于點，連接、，，點在線段上，連接，交于點，點在上，連接，交于點，若，，，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據拋物線解析式求出C點坐標，由求出B點坐標，代入原解析式即可求得參數值，即可求得拋物線解析式；

（2）過點作軸，垂足為，利用三角函數值求得，設，根據點D與點K縱坐標相等結合，列等式求m的值，即可求解點D坐標；

（3）連接、、，延長交于點，過作軸，垂足為，由（2）中已知可求為等邊三角形；由∥，，易證為等邊三角形；結合兩個等邊三角形，可證≌，可得，又已知，易證≌，則，可得為等邊角形，則可推導，得∥，結合已知∥，證明四邊形為平行四邊形；由平行線分線段成比例，且，可求；解Rt△QNT，可求，再根據D、Q兩點利用待定系數法求直線的解析式，聯立直線DQ與拋物線解析式，即可求得交點P的坐標．

解：（1）令，，

∴，即

∵，

∴，即

將點B代入解析式得：，

∴

∴拋物線解析式為：

（2）過點作軸，垂足為，

∵，

∴，

在中，，

即，，

設，

∴，

解得：（舍去），，

∴；

（3）連接、、，延長交于點，過作軸，垂足為，

由（2）中，

∴，

∵軸，（2）中求得，

∴，

∴為等邊三角形

∵∥，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∵，，，

∴≌，

∴，

∵，

∴≌，

∴，，

∴，

∴為等邊角形，

∴

∴，

∴，

∴，

∴∥，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

設直線的解析式為，

∴，解得，

∴，

設，

∴，

解得：（舍去），

∴．