Question

【題目】在四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD 相交于點 O，過點 O 的兩條直線分別交邊 AB、CD、AD、BC 于點 E、F、G、H．

（感知）如圖①，若四邊形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，則 S 四邊形AEOG＝ S 正方形 ABCD；

（拓展）如圖②，若四邊形 ABCD 是矩形，且 S 四邊形 AEOG＝S 矩形 ABCD，設 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的長（用含 a、b、m 的代數式表示）；

（探究）如圖③，若四邊形 ABCD 是平行四邊形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 試確定 F、G、H 的位置，使直線 EF、GH 把四邊形 ABCD 的面積四等分．

Answer 1

【答案】【感知】；【拓展】AG＝；【探究】當 AG＝CH＝，BE＝DF＝1 時，直線 EF、GH 把四邊形 ABCD 的面積四等分．

【解析】

感知：如圖①，根據正方形的性質和全等三角形的性質即可得到結論；

拓展：如圖②，過O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根據圖形的面積得到mb＝ AGa，于是得到結論；

探究：如圖③，過O作KL⊥AB，PQ⊥AD，則KL＝2OK，PQ＝2OQ，根據平行四邊形的面積公式得到＝ ，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．

感知：如圖①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，

在△AOG與△BOE中，，

∴△AOG≌△BOE，

∴S四邊形AEOG＝S△AOB＝S正方形 ABCD；

故答案為：；

拓展：如圖②，過O作ON⊥AD于 N，OM⊥AB于M，

∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四邊形AEOG＝S矩形ABCD，

∴S△AOB＝S四邊形AEOG，

∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四邊形AEOG＝S△AOG+S△AOE，

∴S△BOE＝S△AOG，

∵S△BOE＝BEOM＝m·b＝mb，S△AOG＝AGON＝AGa＝AGa，

∴mb＝AGa，

∴AG＝；

探究：如圖③，過O作KL⊥AB，PQ⊥AD，

則 KL＝2OK，PQ＝2OQ，

∵S平行四邊形ABCD＝ABKL＝ADPQ，

∴3×2OK＝5×2OQ，

∴＝，

∵S△AOB＝S平行四邊形ABCD，S四邊形AEOG＝S平行四邊形ABCD，

∴S△AOB＝S四邊形AEOG，

∴S△BOE＝S△AOG，

∵S△BOE＝BEOK＝×1×OK，S△AOG＝AGOQ，

∴×1×OK＝AGOQ，

∴＝AG＝，

∴當AG＝CH＝，BE＝DF＝1時，直線EF、GH把四邊形ABCD的面積四等分．