Question

【題目】已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD為AB邊上的高．動點P從點A出發，沿著△ABC的三條邊逆時針走一圈回到A點，速度為2cm/s，設運動時間為t s．

（1）求CD的長；

（2）t為何值時，△ACP是等腰三角形？

（3）若M為BC上一動點，N為AB上一動點，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有,請直接寫出最小值，如果沒有，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) CD=4.8cm；(2) t為6，8.4，9，9.5時，△ACP為等腰三角形；（3）AM+MN的最小值=9.6．

【解析】

（1）根據勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，然后由三角形的面積公式得到等積式，即可得到結果；

（2）①當點P在BC上時，求得t==6s，②當點P在AB上時，分三種情況：當AC=AP時，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，求得t=9，當AC=CP=6時，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，求得t=8.4，當AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）時，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，求得t=9.5；

（3）如圖作點A關于BC的對稱點A′，過A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′則A′N就是AM+MN的最小值，根據三角形的中位線即可得到結論．

（1）∵AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°．

∵CD為AB邊上的高，∴ACBC=ABCD，∴CD=4.8cm；

（2）①當點P在BC上時．

∵∠ACB=90°，若△ACP為等腰三角形，只有AC=PC=6，∴t==6s；

②當點P在AB上時．

∵△ACP為等腰三角形，∴分三種情況：當AC=AP時，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，解得：t=9，當AC=CP=6時，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，解得：t=8.4，當AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）時，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，解得：t=9.5．

綜上所述：t為6，8.4，9，9.5時，△ACP為等腰三角形；

（3）如圖作點A關于BC的對稱點A′，過A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，則A′N就是AM+MN的最小值．

∵CD⊥AB，∴CD∥A′N．

∵AC=CA′，∴AD=DN，∴A′N=2CD=9.6，即AM+MN的最小值=9.6．