Question

【題目】如圖，△ABC和△ADC都是等邊三角形，點E，F同時分別從點B，A出發，以相同的速度各自沿BA，AD的方向運動到點A，D停止，連結EC，FC.

(1)在點E，F運動的過程中，∠ECF的大小是否隨之變化？請說明理由．

(2)在點E，F運動的過程中，以A，E，C，F為頂點的四邊形的面積變化了嗎？請說明理由．

(3)連結EF，在圖中找出所有和∠ACE相等的角，并說明理由．

(4)若點E，F在射線BA，射線AD上繼續運動下去，(1)中的結論還成立嗎？直接寫出結論，不必說明理由．

Answer 1

【答案】(1)沒有變化(2)沒有變化(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE(4)(1)中的結論仍成立

【解析】試題分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B=∠CAF=60°，根據SAS可證得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度數是定值，不會改變．（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面積相等，因此四邊形AECF的面積可轉化為△ABC的面積，因此當E、F分別在線段AB、AD上運動時，四邊形AECF的面積不變．（3）同（1）可證得△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；連接EF，由（1）（3）的全等三角形，易知CE=CF，且∠ECF=60°，因此△ECF是等邊三角形，那么∠EFC=60°，然后根據平角的定義以及三角形內角和定理，證得∠AFE=∠FCD，進而可求得∠ACE相等的角是：∠ACE=∠AFE=∠FCD．（4）由于當E、F分別在BA、AD延長線上時，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的結論是成立的．

試題解析：

(1)沒有變化．理由如下：

∵點E，F的速度相同，且同時運動，

∴BE＝AF.

∵△ABC和△ADC都是等邊三角形，

∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°.

在△BCE和△ACF中，∵

∴△BCE≌△ACF(SAS)．∴∠BCE＝∠ACF.

∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°.

(2)沒有變化．理由如下：

由(1)知，△BCE與△ACF的面積相等，

∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC.

∴四邊形AECF的面積沒有變化．

(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.理由如下：

∵△ABC和△ADC都是等邊三角形，

∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD.

∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF.

∴△ACE≌△DCF(SAS)．

∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC.

又∵∠ECF＝60°，

∴△ECF是等邊三角形，∴∠EFC＝60°.

∴∠AFE＋∠DFC＝120°.

∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°.

∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.

(4)(1)中的結論仍成立．