Question

【題目】如圖，在平面坐標系中，ΔABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC，點A坐標為（-8，-3），點B坐標為（0，-5），AC交x軸于點D.

（1）求點C和D的坐標；

（2）點M在x軸上，當ΔAMB的周長最小時，求點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）C（2，3），D（-3，0）；（2）M（-5，0）.

【解析】

（1）分別作AF⊥y軸，CE⊥y軸，垂足為F,E，證明△AFB≌△CEB，得BE=AF=8，CE=BF=2，又OB=5，從而可得點C 的坐標，設AC的直線解析式為y=kx+b，把A，C點的坐標分別代入直線解析式，求出k和b的值，令y=0，求出x的值即可；

（2）作A點關于x軸的對稱點A‘，連接A’B交x軸于點M，此時ΔAMB的周長最小，設直線A’B的解析式為y=ax+b，把A’，B點的坐標分別代入，求出其解析式，令y=0，求出x的值即可.

（1）分別作AF⊥y軸，CE⊥y軸，垂足為F，E，

∴∠AFB=∠BEC=90°，

∴∠BAF+∠ABF=90°, ∠CBE+∠BCE=90°，

∵∠ABF+∠CBE=∠ABC=90°

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，

∴△ABF≌△BCE，

∴BE=AF，CE=BF

∵A（-8，-3），B（0，-5），

∴AF=8，OF=3，OB=5，

∴OE=3,CE=2，

∴C點坐標為（2，3）;

設直線AC的關系式為y=kx+b，把A（-8，-3），C（2，3）分別代入得，

，

解得，，

所以，直線AC的解析式為：，

令y=0，則有，解得，x=-3，

∴D點坐標為（-3，0）；

（2）如圖，作A點關于x軸的對稱點A‘，連接A’B交x軸于點M，此時ΔAMB的周長最小，

設直線A’B的解析式為y=ax+b，把A’（-8，3），B(0,-5)分別代入解析式得，

，

解得，

所以，直線A’B的解析式為：y=-x-5，

令y=0，則x=-5，

所以，M點的坐標為（-5，0）.