Question

【題目】如圖，中，，以為直徑的圓與相交于點，與的延長線相交于點，過點作于點

（1）求證：是圓的切線；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（（1）由等腰三角形的性質可證∠ODB=∠C，從而OD//AC，可證OD⊥DF，即可解決問題；

（2）連結BE，根據直徑所對的圓周角為直角得出，根據已知用AE表示出AB、EC、BE，從而可得，然后由△DFC∽△BEC，得，由此即可計算CF長．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線

(2)解：如圖，連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°．

∵AB＝AC，AC＝3AE，

∴AB＝3AE，CE＝4AE，

∴BE＝＝AE，

∴．

∵∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴DF∥BE，

∴△DFC∽△BEC，

∴，

∴DF＝FC．

∵DF＝2，

∴CF＝．