Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交切線AC于點C，OC與圓O交于點E，連結BE、DE．

（1）若圓的半徑是3，∠EBA是30度，求AD的長度．
（2）求證：∠BED=∠C．
（3）若OA=5，AD=8，求切線AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EBA是30度，

∴∠AOF=60°，

∵OC⊥AD，

∴∠OAF=30°，AD=2AF，

∵AO=3，

∴AF= ，

∴AD=2AF=3

（2）解：∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，

∴AB⊥AC．

則∠1+∠2=90°，

又∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

而∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C

（3）解：連接BD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD= = =6，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA：BD=AC：DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=

【解析】（1）利用垂徑定理和圓周角定理，先求AF再求AD；（2）可連BD，構成直徑所對的90度圓周角，再利用圓周角定理可轉化∠C=∠2，∠BED=∠2，得出結論；（3）可證△OAC∽△BDA，利用對應邊成比例求出AC.
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．