Question

【題目】如圖，△ABC是一塊直角三角框，且∠C=90°，∠A=30°，現將圓心為點O的圓形紙片放置在三角框內部，將圓形紙片沿著三角框的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，則圓心O運動的路徑長為_____．

Answer 1

【答案】15+

【解析】分析：添加如圖所示輔助線，圓心O的運動路徑長為，先求出的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1，四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，四邊形OECF為正方形，得出 從而知 利用相似三角形的性質即可得出答案．

詳解：如圖,圓心O的運動路徑長為，

過點O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分別為點D. F.G，

過點O作OE⊥BC,垂足為點E,連接O2B，

過點O2作O2H⊥AB,O2I⊥AC，垂足分別為點H、I，

在Rt△ABC中,

∴

∴

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G為切點，

∴BD=BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵

∴△O1BD≌△O1BG(HL)，

∴

在Rt△O1BD中,

∴

∴

∵O1D=OE=2,O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE,且O1D=OE，

∴四邊形OEDO1為平行四邊形，

∵

∴四邊形OEDO1為矩形，

同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，

又OE=OF，

∴四邊形OECF為正方形，

∵

∴

又∵

∴

同理,

∴△OO1O2∽△CBA，

∴ 即

∴ 即圓心O運動的路徑長為.

故答案為：