Question

【題目】如圖，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點D是AB邊上一點，連接CD，以CD為邊作等邊CDE．

（1）如圖1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等邊CDE的邊長；

（2）如圖2，點D在AB邊上移動過程中，連接BE，取BE的中點F，連接CF，DF，過點D作DG⊥AC于點G．

①求證：CF⊥DF；

②如圖3，將CFD沿CF翻折得CF，連接B，直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②．

【解析】

（1）過點C作CH⊥AB于點 H，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可得∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，CH＝＝，由∠CDB＝45°，可得CD＝CH＝；

（2）①延長BC到N，使CN＝BC，由“SAS”可證CEN≌CDA，可得EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，由三角形中位線定理可得CF∥EN，CF＝EN，可得∠BCF＝∠N＝30°，可證DG＝CF，DG∥CF，即可證四邊形CFDG是矩形，可得結論；

②由“SAS”可證EFD≌BF，可得B＝DE，則當CD取最小值時，有最小值，即可求解．

解：（1）如圖1，過點C作CH⊥AB于點 H，

∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CH⊥AB，

∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，

在RtBCH中，tan∠B＝，

∴tan30°＝

∴CH＝＝，

∵∠CDH＝45°，CH⊥AB，

∴∠CDH＝∠DCH＝45°，

∴DH＝CH＝，CD＝CH＝；

（2）①如圖2，延長BC到N，使CN＝BC，

∵AC＝BC，∠ACB＝120°，

∴∠A＝∠ABC＝30°，∠NCA＝60°，

∵ECD是等邊三角形，

∴EC＝CD，∠ECD＝60°，

∴∠NCA＝∠ECD，

∴∠NCE＝∠DCA，

又∵CE＝CD，AC＝BC＝CN，

∴CEN≌CDA(SAS)，

∴EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，

∵BC＝CN，BF＝EF，

∴CF∥EN，CF＝EN，

∴∠BCF＝∠N＝30°，

∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝90°，

又∵DG⊥AC，

∴CF∥DG，

∵∠A＝30°，DG⊥AC，

∴DG＝AD，

∴DG＝CF，

∴四邊形CFDG是平行四邊形，

又∵∠ACF＝90°，

∴四邊形CFDG是矩形，

∴∠CFD＝90°

∴CF⊥DF；

②如圖3，連接B，

∵將CFD沿CF翻折得CF，

∴CD＝C，DF＝F，∠CFD＝∠CF＝90°，

又∵EF＝BF，∠EFD＝∠BF，

∴EFD≌BF(SAS)，

∴B＝DE，

∴B＝CD，

∵當B取最小值時，有最小值，

∴當CD取最小值時，有最小值，

∵當CD⊥AB時，CD有最小值，

∴AD＝CD，AB＝2AD＝2CD，

∴最小值＝．