Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，D、E為圓上兩點(diǎn)，C為圓外一點(diǎn)，且∠E+∠C=90°．

（1）求證：BC為⊙O的切線(xiàn)．
（2）若sinA= ，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠A與∠E所對(duì)的弧都是 ，

∴∠A=∠E，

又∵∠E+∠C=90°，

∴∠A+∠C=90°，

在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，

∵AB為直徑，

∴BC為⊙O的切線(xiàn)

（2）解：∵sinA= ，BC=6，

∴ = ，

即 = ，

解得AC=10，

由勾股定理得，AB= = =8，

∵AB為直徑，

∴⊙O的半徑是 ×8=4

【解析】（1）根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A=∠E，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的定義證明即可；（2）根據(jù)∠A的正弦求出AC，利用勾股定理列式計(jì)算求出AB，然后求解即可．本題考查了切線(xiàn)的判定，銳角三角函數(shù)，解直角三角形，勾股定理，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，熟記切線(xiàn)的概念并求出直角是解題的關(guān)鍵．