Question

【題目】如圖1，二次函數的圖像與軸交于兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）點是拋物線第象限上一點，設點的橫坐標為，連接，如果點關于直線的對稱點落在軸下方(含軸)，求的取值范圍；

（3）如圖2，連接將繞平面內某點順時針旋轉，得到點的對應點分別是點、若的兩個項點恰好落在拋物線上，請直接寫出點的坐標 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范圍為； （3）點的坐標為或

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可求解；

（2）首先根據二次函數的解析式求出B,C的坐標，然后設點關于直線對稱的點恰好在軸上時，對稱點為，根據軸對稱的性質和勾股定理求出點E的坐標，進而求出直線AP的解析式，然后將直線AP的解析式與二次函數的解析式聯立，求出P點的橫坐標，然后數形結合即可得出答案；

（3）分兩種情況：當在二次函數圖像上時和當在二次函數圖像上時，設點的坐標為將點的坐標代入二次函數中，通過聯立求方程組的解即可得出答案．

二次函數的圖象過點

即；

令，則

解得，

，

令，則

，

則

設點關于直線對稱的點恰好在軸上時，對稱點為，

，

設長為

則

在中，，

即

解得

點的坐標為，

設直線的函數表達式為

所以解得

即．

設直線與二次函數的圖像交點的橫坐標為，

則

解得，

點關于直線的對稱點落在軸下方(含軸)時，

的取值范圍為；

設點的坐標為

當在二次函數圖像上時，

則點的坐標為、點的坐標為

解得，

即點的坐標為；

當在二次函數圖像上時，

則點的坐標為

，

解得

即點的坐標為

綜上可知點的坐標為或