Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C 是⊙O上一點，過點C 作⊙O的切線，交BA的延長線交于點D，過點B 作BE⊥BA，交DC延長線于點E，連接OE，交⊙O于點F，交BC于點H，連接AC．

（1）求證：∠ECB=∠EBC；

（2）連接BF，CF，若BF=5，sin∠FBC=，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

（1）先證EB為⊙O的切線，再利用切線長定理即可證得∠ECB＝∠EBC；

（2）先由BF＝5，sin∠FBC＝求得FH及HB的長，再由Rt△BOH的勾股定理求得OH長，最后利用中位線即可求得AC的長．

（1）證明：∵BE⊥BA，AB是⊙O的直徑，

∴BE是⊙O的切線，

又∵CE是⊙O的切線，

∴BE＝CE，

∴∠ECB＝∠EBC；

（2）解：如圖，連接OC，

∵BE＝CE，OB＝OC，

∴OE垂直平分BC，

∴∠BHF＝∠BHO＝90°，點H為BC的中點，

∴在Rt△BHF中，sin∠FBC＝＝，

∵BF＝5，

∴FH＝3，

∴BH＝，

設OH＝x，則OB＝OF＝x＋3，

在Rt△OHB中，OH2＋BH2＝OB2，

∴x2＋42＝（x＋3）2，

解得x＝

∴OH＝

∵點O、H分別為AB、CB的中點，

∴OH是△ABC的中位線，

∴AC＝2OH＝