Question

【題目】已知是關于的函數，若其函數圖象經過點，則稱點為函數圖象上的“郡點”，例如：上存在“郡點”．

（1）直線___________（填寫直線解析式）上的每一個點都是“郡點”，雙曲線上的“郡點”是___________；

（2）若拋物線上有“郡點”，且“郡點”、（點和點可以重合）的坐標為、，求的最小值．

（3）若函數的圖象上存在唯一的一個“郡點”，且當，的最小值，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；或；（2）；（3）的值為或

【解析】

（1）根據“郡點”的定義得y＝x時，圖象經過點P（t，t）；y＝＝x，函數圖象經過點P（t，t），即可求解；

（2）由題意得：y＝x，即：y＝x2＋（a＋1）xa2a＋2＝x，整理得：

x2＋axa2a＋2＝0，由韋達定理，即可求解；

（3）由題意得：y＝x2＋（nk＋1）x＋m＋k1＝x，由題意△＝0得：m＝（nk）2（k1），分當2≤n＝k≤1、當n＝k≤2、n＝k≥1三種情況，求解即可．

解：（1）由題意得：y＝x時，圖象經過點P（t，t），

y＝＝x，解得：x＝±1，

故答案為：y＝x，（1，1）或（1，1）；

（2）設二次函數的“郡點”為

∴

∴

∴

∴

又“郡點”、（點和點可以重合）

∴△≥0

∴

∴或

對于

∵a=，對稱軸a=-

∴時，

（3）∵只有一個“郡點”

∴與只有一個交點

=x

則方程有兩個相同的根，

∴

可得

①當2≤n＝k≤1時，n＝k時，m取得最小值，

即：（k1）＝k，

解得：k＝；

②當n＝k≤2時，n＝2，m取得最小值，

即：（2k）2（k1）＝k，

x無解；

③當n＝k≥1時，n＝1，m取得最小值，

即：（1k）2span>（k1）＝k，

解得：k＝2±（舍去負值）

故：k的值為：或2＋．