Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，且AC=AB，CO交⊙O于點P，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E，連接AP、AF．
求證：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B、∠F同對劣弧AP，

∴∠B=∠F，

∵BO=PO，

∴∠B=∠BPO，

∴∠F=∠BPF，

∴AF∥BE．

（2）證明：∵AC切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BPA=90°，

∴∠EAP=90°﹣∠BEA，∠B=90°﹣∠BEA，

∴∠EAP=∠B=∠F，

又∠C=∠C，

∴△ACP∽△FCA．

（3）證明：∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．

∴△PCE∽△ACP

∴ ，

∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，

∴△EAP∽△ABP．

∴ ，

又AC=AB，

∴ ，

于是有 ．

∴CP=AE．

【解析】（1）由∠B、∠F同對劣弧AP，可知兩角的關系，又因BO=PO，△BOP是等腰三角形，求出∠F=∠BPF，得出結論；（2）AC切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，證明∠EAP=∠B，故△ACP∽△FCA；（3）由∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C，證得三角形相似，列出比例式，可得到等式成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．