Question

【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務．

三等分任意角問題是數學史上一個著名的問題，直到1837年，數學家才證明了“三等分任意角”是不能用尺規完成的．

在探索中，出現了不同的解決問題的方法

方法一：

如圖（1），四邊形ABCD是矩形，F是DA延長線上一點，G是CF上一點，CF與AB交于點E，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，此時∠ECB＝∠ACB．

方法二：

數學家帕普斯借助函數給出一種“三等分銳角”的方法（如圖（2））：將給定的銳角∠AOB置于平面直角坐標系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數y＝的圖象交于點P，以點P為圓心，以2OP長為半徑作弧交圖象于點R．過點P作x軸的平行線，過點R作y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠AOB，過點P作PH⊥x軸于點H，過點R作RQ⊥PH于點Q，則∠MOB＝∠AOB．

（1）在“方法一”中，若∠ACF＝40°，GF＝4，求BC的長．

（2）完成“方法二”的證明．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求出AC的值再求出∠ACB，利用三角函數即可解答

（2）設點P的坐標為（a，），點R的坐標為（b，），則點Q的坐標為（a，），點M的坐標為（b，），求出直線OM的解析式，得出四邊形PQRM為矩形，設PR交MQ于點S，根據SP＝SQ＝SR＝SM＝PR，即可解答

（1）解：∵∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，

∴AC＝AG＝GF＝4．

∵∠ECB＝ ∠ACB，∠ACF＝40°，

∴∠ACB＝ ∠ACF＝60°，

∴BC＝ACcos∠ACB＝4×＝2．

（2）證明：設點P的坐標為（a，），點R的坐標為（b，），則點Q的坐標為（a，），點M的坐標為（b，）．

設直線OM的解析式為y＝kx（k≠0），

將M（b，）代入y＝kx，得：＝kb，

∴k＝，

∴直線OM的解析式為y=x．

∵當x＝a時，y＝，

∴點Q在直線OM上．

∵PH⊥x軸，RQ⊥PH，MP∥x軸，MR∥y軸，

∴四邊形PQRM為矩形．

設PR交MQ于點S，如圖（2）所示．

則SP＝SQ＝SR＝SM＝PR，

∴∠SQR＝∠SRQ．

∵PR＝2OP，

∴PS＝OP＝PR，

∴∠POS＝∠PSO．

∵∠PSQ＝2∠SQR，

∴∠POS＝2∠SQR．

∵RQ∥OB，

∴∠MOB＝∠SQR，

∴∠POS＝2∠MOB，

∴∠MOB＝∠AOB．