Question

【題目】如圖．在中，，，， 動點從點出發以每秒3個單位的速度運動至點，過點作交射線于點．設點的運動時間為秒．

（1）線段長為 ．(用含的代數式表示)

（2）若與的面積比為1：4時， 求的值．

（3）設與重疊部分圖形的周長為， 求與之間的函數關系式．

（4）當直線把分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）5t；（2）t=1；（3）當時，；當時， ；（4）或t=2

【解析】

（1）先在Rt△ABC中求出tanA，再在Rt△ADE中求出DE，最后利用勾股定理求出AE；

（2）先判斷出△ABC∽△AED，再根據面積比得出相似比，進而列式計算即可；

（3）由（1）（2）得：AD＝3t，DE＝4t，AE＝5t，BD＝103t，△ABC∽△AED，然后分情況討論：當0＜t≤時；當時；分別利用相似三角形的性質求出重疊部分圖形的邊長，然后計算周長；

（4）分兩種情況：當E在線段AC上，DE＝CE時，四邊形BCED是軸對稱圖形；當DE和BC相交于F，AD＝AC時，四邊形ACFD是軸對稱圖形；分別用相等的線段建立方程求解即可．

解：（1）由題意得，AD＝3t，

在Rt△ABC中，，

在Rt△ADE中，，

∴DE＝4t，

根據勾股定理得，AE＝5t，

故答案為：5t；

（2）∵ED⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ADE＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵與的面積比為1：4，

∴，即，

∴t＝1；

（3）由（1）（2）得：AD＝3t，DE＝4t，AE＝5t，△ABC∽△AED，

∵，

∴BD＝103t，

當E、C重合時，即5t＝6，

解得：，

∴當0＜t≤時，L＝3t＋4t＋5t＝12t；

當D、B重合時，即3t＝10，

解得：，

∴當時，如圖，

∵∠B＝∠B，∠BDF＝∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴，即，

∴DF＝，

∵∠BFD＝∠EFC，∠BDF＝∠ECF，

∴∠B＝∠E，

∵∠FCE＝∠BCA，

∴△BCA∽△ECF，

∴，即，

∴CF＝，

∴，

綜上：當時，；當時，；

（4）當E在線段AC上，DE＝CE時，四邊形BCED是軸對稱圖形，

由（1）知，AE＝5t，DE＝4t，

∴CE＝65t，

∴4t＝65t，

解得：，

當DE和BC相交于F，AD＝AC時，四邊形ACFD是軸對稱圖形，

∵AD＝3t，AC＝6，

∴3t＝6，

解得：t＝2，

故t的值為或2．