Question

【題目】如圖，∠AOB=45°，點M，N在邊OA上，點P是邊OB上的點．

（1）利用直尺和圓規在圖1確定點P，使得PM=PN；

（2）設OM=x，ON=x+4，

①若x=0時，使P、M、N構成等腰三角形的點P有　　個；

②若使P、M、N構成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是____________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①3；②：x=0或x=4﹣4或4＜x＜4；

【解析】

（1）分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，兩弧相交與兩點，過兩弧交

點的直線就是MN的垂直平分線；

（2）①分為PM=PN，MP=MN，NP=NM三種情況進行判斷即可；②如圖3，構建腰長為4

的等腰直角△OMC，和半徑為4的⊙M，發現M在點D的位置時，滿足條件；如圖4，根

據等腰三角形三種情況的畫法：分別以M、N為圓心，以MN為半徑畫弧，與OB的交點就

是滿足條件的點P，再以MN為底邊的等腰三角形，通過畫圖發現，無論x取何值，以MN

為底邊的等腰三角形都存在一個，所以只要滿足以MN為腰的三角形有兩個即可．

（1）如圖所示：

（2）①如圖所示：

故答案為：3．

②如圖3，以M為圓心，以4為半徑畫圓，當⊙M與OB相切時，設切點為C，⊙M與OA交于D，

∴MC⊥OB，

∵∠AOB=45°，

∴△MCO是等腰直角三角形，

∴MC=OC=4，

∴

當M與D重合時，即時，同理可知：點P恰好有三個；

如圖4，取OM=4，以M為圓心，以OM為半徑畫圓．

則⊙M與OB除了O外只有一個交點，此時x=4，即以∠PMN為頂角，MN為腰，符合條件的點P有一個，以N圓心，以MN為半徑畫圓，與直線OB相離，說明此時以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點P不存在，還有一個是以NM為底邊的符合條件的點P；

點M沿OA運動，到M1時，發現⊙M1與直線OB有一個交點；

∴當時，圓M在移動過程中，則會與OB除了O外有兩個交點，滿足點P恰好有三個；

綜上所述，若使點P，M，N構成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是：x=0或或

故答案為：x=0或或