Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點A的坐標為（﹣1，0），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；

（2）當點P在線段OB上運動時，若△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時，求m的值；

（3）當以C、O、M、N為頂點的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3)

【解析】試題分析：

（1）把點A（﹣1，0），點C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c列出方程組求得b、c的值即可得到拋物線的解析式，在所得拋物線的解析式中，由y=0可得關于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐標；有B、C的坐標用“待定系數法”可求得直線BC的解析式；

（2）由△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形可得，CM∥x軸，由點C的坐標（0，3）可得點M的縱坐標為3，把y=3代入拋物線的解析式解得x的值即可得到m的值；

（3）由已知把M、N的坐標用含“m”的代數式表達出來，進一步表達出MN的長，根據題意可得MN=OC=3即可列出關于“m”的方程，解方程即可求得m的值.

試題解析：

（1）把點A（﹣1，0），點C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，

∴點B的坐標（3，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，把C（0，3），B的坐標（3，0）代入，得，解得： ，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

（2）∵△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形，

∴CM∥x軸，即點M的縱坐標為3，

把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，

∵點M不能與點C重合，

∴點P的橫坐標為m=2．

（3）∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，P的橫坐標為m

∴M（m，﹣m2+2m+3），

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∴N（m，﹣m+3），

∵以C、O、M、N為頂點的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形，

∴MN=OC=3，

∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化簡得m2﹣3m+3=0，無解，

或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化簡得m2﹣3m﹣3=0，

解得m=，

∴當以C、O、M、N為頂點的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時，m的值為．