Question

【題目】如圖，在⊙O中，C，D分別為半徑OB，弦AB的中點，連接CD并延長，交過點A的切線于點E．

（1）求證：AE⊥CE．

（2）若AE＝2，sin∠ADE＝，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OA，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OAE=90°，再證明CD為△AOB的中位線得到CD∥OA．則可判斷AE⊥CE；

（2）連接OD，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定義計算出AD=3，接著證明∠OAD=∠ADE．從而在Rt△OAD中有sin∠OAD=，設OD=x，則OA=3x，利用勾股定理可計算出AD=2x，從而得到2x=3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半徑長．

（1）證明：如圖， 連接OA

∵AE是⊙O的切線，

∴AE⊥AO

∴∠OAE＝90°

∵C，D分別為半徑OB，弦AB的中點，

∴CD為△AOB的中位線

∴CD∥OA．

∴∠E＝90°．

∴AE⊥CE；

（2）解：如圖，連接OD，

∵AD＝BD，

∴OD⊥AB，

∴∠ODA＝90°

在Rt△AED中，sin∠ADE＝，

∴AD＝6

∵CD∥OA，

∴∠OAD＝∠ADE．

在Rt△OAD中，sin∠OAD＝

設OD＝x，則OA＝3x，

∴

即，解得x＝

∴OA＝3x＝，

即OB長為