Question

【題目】已知二次函數．

（Ⅰ）已知，若二次函數圖象與軸有唯一公共點，求的值；

（Ⅱ）已知．

（ⅰ）當時，二次函數圖象與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；

（ⅱ）當時，有最小值，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）b的取值范圍＜b≤或1≤b＜3；（ⅱ）b的值為或．

【解析】

（Ⅰ）先根據化簡二次函數的解析式，再根據判別式△=即可得出b的值

（Ⅱ）（ⅰ）先根據已知條件得出方程的兩個根，，再由即可得出b的取值范圍；

（ⅱ）先根據已知條件得出拋物線的解析式和對稱軸x=，再根據對稱軸和、以及y的最小值分三種情況進行討論即可

（Ⅰ）當a=c=1，拋物線；且與x軸有唯一公共點．

對于方程，判別式△=，有．

（Ⅱ）（ⅰ）當時，∵；

∴，；

當＜＜1時，＜≤1，解得≤b＜3；

當＜＜1時，≤＜1，解得＜b≤1；

∵拋物線與x軸有且只有一個公共點，

∴b的取值范圍＜b≤或1≤b＜3；

（ⅱ）當時，，拋物線；

圖象開口向上，對稱軸為直線x=，

①當b≤≤b+3時，即﹣2≤b≤0，∴當x=時，；

②當＜b，即b＞0時，在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，

∴當x=b時，為最小值，

∴，解得，＜0（舍去），；

③當＞b+3，即b＜﹣2，在自變量x的值滿足b≤x≤+3的情況下，y隨x的增大而減小，

∴當x=b+3時，為最小值，

∴．解得，＞﹣2（舍去），；

綜上所述：b的值為或．