Question

【題目】如圖1，拋物線y＝-x2+x+與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸于點C．將直線AC以點A為旋轉中心，順時針旋轉90°，交y軸于點D，交拋物線于另一點E．

(1)求直線AE的解析式；

(2)點F是第一象限內拋物線上一點，當△FAD的面積最大時，求出此時點F的坐標；

(3)如圖2，將△ACD沿射線AE方向以每秒個單位的速度平移，記平移后的△ACD為△A′C′D′，平移時間為t秒，當△AC′E為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的值為或或或．

【解析】

（1）由拋物線解析式，分別求出A、B、C三點坐標，由△AOC∽△DOA得，從而求出DO，進而可知直線AE的解析式；

（2）過點作軸于點，交直線于點，分別根據拋物線和直線AE的解析式，設出點F和點K的坐標，由S△FAD=S△FAK-S△FDK，用x表示△FAD的面積，根據二次函數的性質即可求解；

（3）連接，過點作軸于點，分三種情況討論當△AC′E為等腰三角形時，t的值：①；②；③．

（1）由題意知，拋物線y＝-x2+x+與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸于點C，

令=0，得，所以C(0,),

令=0，得，所以A(-1,0)，B(3,0)，

根據題意，AE⊥AC

∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=90°，

又∵∠AOC=∠DOA=90°

∴∠OAD+∠ADO=90°

∴∠ADO=∠CAO

∴△AOC∽△DOA

∴

∴

∴點D的坐標為：

∴直線AE的解析式為：；

（2）過點作軸于點，交直線于點，過點作于點，

設點坐標為，則點，

，

，

，

，

，

，

當時，有最大值，

此時點；

（3）連接，過點作軸于點，

則

點，易求

①當時，，解得：；

②當時，同理可得：(舍去負值)；

③當時，同理可得：；

故：的值為或或或．