Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，點D在邊BC上，點E在邊AB上，沿DE將△ABC折疊，使點B與點A重合，連接AD，點P是線段AD上一動點，當半徑為5的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

設BD＝x，由折疊性質得AD與CD，在Rt△ACD中由勾股定理列出x的方程，進而求得DE，得出⊙P不能與AB相切，進而分兩種情況：⊙P與AC相切和⊙P與BC相切，過P作切線的垂線段，再根據相似三角形的比例線段便可求得結果．

解：設BD＝x，由折疊知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，

解得，x＝10，

∴CD＝10，

∵AB＝==，

∴AE＝BE＝AB＝，

∴DE＝，

∴點P是線段AD上運動時，⊙P不可能與AB相切，

分兩種情況：①當⊙P與AC相切時，過點P作PF⊥AC于點F，如圖1，

∴PF＝5，PF∥CD，

∴△APF∽△ADC，

∴，即，

∴；

②⊙P與BC相切時，過點P作PG⊥BC于點G，如圖2，

∴PG＝5，PG∥AC，

∴△DPG∽△DAC，

∴，即，

∴DP＝，

∴AP＝10﹣=，

綜上，AP的長為或．