Question

【題目】如圖，為的直徑，為的切線，為弦，連接，，交于點，交于點，連接，，且．

（1）求證：為的切線；

（2）若，求證：；

（3）在（2）的條件下，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接，，已知是的切線，可得，又因為，，可證得，得，證得為的切線．

（2）由（1）知，可得垂直平分線段，所以，得，已知，，可得，

延長到點．由（1）知為的切線，證明，，可得，，即．

（3）設與交于點，，，，可證得，，設，則，解得x

由，得，可求得．

（1）如圖，連接，．

∵是的切線，

∴．∴．

∵，，

∴．

∴．

∴為的切線．

（2）∵是直徑，

∴．

∴，由（1）知，．

∴垂直平分線段．

∴，．

∵，

∴．

∴．

如圖，延長到點．由（1）知為的切線，

∴．又，

∴．又，．

∴，即．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴．

（3）如圖，設與交于點，，則，．

∵，，

∴．

∴．

設，則．

解得，（舍），即．

∵，

∴．

∵，

∴．

故答案為：