Question

【題目】已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，AD=8,

(1)若∠DAE︰∠BAE=3︰1，求∠EAC的度數；

(2)若ED=3BE，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）4.

【解析】

（1）由已知條件求出∠BAE＝22.5°，再根據矩形的性質得到OA＝OB，求出∠OAB=∠ABE=67.5°，即可得出∠EAC的度數；

（2）根據矩形的性質和等腰三角形三線合一的性質得到△OAB是等邊三角形，求出∠ADE =30°，利用含30°角的直角三角形的性質可求出AE.

(1)解：∵∠DAE︰∠BAE=3︰1，

∴∠BAE=90°×=22.5°，

∴∠ABE=67.5°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AO=CO，BO=DO

∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABE=67.5°

∴∠EAC=∠OAB∠BAE=67.5°22.5°=45°；

(2)∵OA=OB=OD，ED=3BE，

∴OE+OD=3BE，

∴OBBE+OB=3BE，

∴OB =2BE，

∴點E為OB的中點，

∵AE⊥BD，

∴AB=OA，

∴OA=AB=OB，即△OAB是等邊三角形，

∴∠ABD=60°，

∴∠ADE=90°∠ABD=30°，

∵AE⊥BD，AD=8，

∴AE=AD=4.