Question

【題目】直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、F．

（1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度數；

（2）若折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中∠B的度數是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）45°或30°，圖見解析.

【解析】

（1）根據翻折的性質，得到∠AFE=∠DFE=65°，即可求出∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，根據直角三角形兩個銳角互余的性質即可求出∠CDF的度數.

（2）先確定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因為不確定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關系得出答案即可．

（1）根據翻折不變性可知：∠AFE=∠DFE=65°，

∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°，

∵∠C=90°，

∴∠CDF=90°﹣50°=40°．

（2）∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF=CD，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

設∠DAE=x°，由對稱性可知，AF=FD， AE=DE，

∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，

分類如下：

①當DE=DB時，∠B=∠DEB=2x°，

由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，

解得：x=22.5°．此時∠B=2x=45°；

見圖形（1），說明：圖中AD應平分∠CAB．

②當BD=BE時，則∠B=（180°﹣4x）°，

由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x，

解得x=37.5°，此時∠B=（180﹣4x）°=30°．

圖形（2）說明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．

③DE=BE時，則

由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，

此方程無解．

∴DE=BE不成立．

綜上所述：∠B=45°或30°．