Question

【題目】閱讀材料，解答問題

數學課上，同學們興致勃勃地探討著利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法．

小惠說：“如圖1，我用相同的兩塊含 30°角的直角三角板可以畫角的平分線．畫法如下：

①在 的兩邊分別取點 M，N，使 OM=ON ；

②把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩斜邊交于點 P ；

③作射線 OP .則OP是∠AOB 的平分線．”小旭說：“我只用刻度尺就可以畫角平分線．”

請你也參與探討，解決以下問題：

（1）小惠的作法正確嗎?若正確，請給出證明，若不正確，請說明理由．

（2）請你和小旭一樣，只用刻度尺畫出圖 2 中∠QRS 的平分線，并簡述畫圖的過程．

Answer 1

【答案】(1) 小惠的作法正確．理由見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）過O點作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，求出△OMC≌△OND，根據全等三角形的性質得出OC=OD，∠COM=∠DON，根據角平分線性質求出∠CPO=∠DPO．根據三角形內角和定理求出即可；

（2）根據全等三角形的判定定理SSS，用刻度尺作出即可．

試題解析：解：（1）小惠的做法正確．

理由如下：

如圖1，過O點作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，∴∠C=∠D=90°，由題意，∠PMA=∠PNB=60°，∴∠OMC=∠PMA=60°，∠OND=∠PNB=60°，∴∠OMC=∠OND．

在△OMC和△OND中，∵∠CMO=∠DNO，∠C=∠D，OM=ON，∴△OMC≌△OND（AAS），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∵OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，∴點O在∠CPD的平分線上，∴∠CPO=∠DPO，∴∠COP=∠DOP，∴∠MOP=∠NOP，即 射線OP是∠AOB的平分線；

（2）如圖2，射線RX是∠QRS的平分線，作圖過程是：用刻度尺作RV=RW，RT=RU，連接TW，UV交于點X，射線RX即為所求∠QRS的平分線．