Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊BC，AB上的中點，連接DE并延長至點F，使EF=2DF，連接CE、AF．

（1）證明：AF=CE；

（2）當∠B=30°時，試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ACEF是菱形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由三角形中位線定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四邊形ACEF是平行四邊形，即可得出AF=CE；

（2）由直角三角形的性質得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，證出△AEC是等邊三角形，得出AC=CE，即可得出結論．

試題解析：（1）∵點D，E分別是邊BC，AB上的中點，∴DE∥AC，AC=2DE，

∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴AF=CE；

（2）當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形；理由如下：

∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等邊三角形，∴AC=CE，

又∵四邊形ACEF是平行四邊形，∴四邊形ACEF是菱形．