Question

【題目】在平面直角坐標系中（如圖），已知二次函數（其中a、b、c是常數，且a≠0）的圖像經過點A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），聯結AB、AC．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點D是線段AC上的一點，聯結BD，如果，求tan∠DBC的值；

（3）如果點E在該二次函數圖像的對稱軸上，當AC平分∠BAE時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）E（2，）

【解析】

（1）直接利用待定系數法，把A、B、C三點代入解析式，即可得到答案；

（2）過點D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設AC邊上的高為h，利用面積的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；

（3）延長AE至x軸，與x軸交于點F，先證明△OAB∽△OFA，求出點F的坐標，然后求出直線AF的方程，即可求出點E的坐標.

解：（1）將A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，

解得，

∴此拋物線的表達式是：．

（2）過點D作DH⊥BC于H，

在△ABC中，設AC邊上的高為h，則，

又∵DH//y軸，

∴．

∵OA=OC=3，則∠ACO=45°，

∴△CDH為等腰直角三角形，

∴．

∴．

∴tan∠DBC=.

（3）延長AE至x軸，與x軸交于點F，

∵OA=OC=3，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，

∵∠BAC=∠FAC，

∴∠OAB=∠OFA．

∴△OAB∽△OFA，

∴．

∴OF=9，即F（9，0）；

設直線AF的解析式為y=kx+b（k≠0），

可得 ，解得，

∴直線AF的解析式為：，

將x=2代入直線AF的解析式得：，

∴E（2，）.